第1章矢量分析

1.1 矢量代数

1.1.1 标量和矢量

数学上，任一代数量 $a$ 都可称为标量。在物理学中，任一代数量一旦被赋

予“物理单位”，则称为一个具有物理意义的标量，即所谓的物理量，如电压 $u$ 电

荷量 $Q$ 、质量 $m$ 能量 $w$ 等都是标量。

一般的三维空间内某一点 $P$ 处存在的一个既有大小又有方向特性的量称为

矢量。

单位矢量：模为1的矢量称为单位矢量。 $e_A$ 表示与矢量 $A$ 同方向的单位矢量，显然：

$\begin{aligned} e_A=\frac{\mathbf{A}}{A} \end{aligned}$

常矢量：大小和方向均不变的矢量。 单位矢量不一定是常矢量。

1.1.2 矢量的加法和减法

平行四边形法则：

运算法则：

交换律： $A+B=B+A$

结合律： $(A+B)+C=A+(\begin{array}{c}B+C\\\end{array})$

1.1.3 矢量的乘法

标量和矢量： $k\vec{A}$ 还是矢量，大小为 $|k|A$ ， $k>0$ ，则 $k\vec{A}$ 与 $\vec{A}$ 同方西，反之。

矢量和矢量：

（1）点积（标积）：

交换律： $A\cdot B=B\cdot A$

分配律： $A\cdot(B+C)=A\cdot B+A\cdot C$

（2）叉积（矢积）：

显然有： $A\times B=-B\times A$

不满足交换律。

分配律： $A\times(\begin{array}{c}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}\end{array})=A\times\boldsymbol{B}+A\times\boldsymbol{C}$

标量三重积： $A\cdot(B\times C)=B\cdot(C\times A)=C\cdot(A\times B)$

矢量三重积： $A\times (B\times C)=B\cdot(C\times A)=C\times (A\times B)$

1.2 三种常用的正交曲线坐标系

电磁理论中，常用直角坐标系，圆柱坐标系和球坐标系。

1.2.1 直角坐标系

右手螺旋定则： $e_x\times e_y=e_z\times e_y\times e_z=e_x\times e_z\times e_x=e_y$

任意矢量 $\vec{A}$ 表示为： $A=e_{x}A_{x}+e_{y}A_{y}+e_{z}A_{z}$

两矢量和： $A+B=e_{x}(A_{x}+B_{x})+e_{y}(A_{y}+B_{y})+e_{z}(A_{z}+B_{z})$

两矢量点积：

$\begin{aligned} \textbf{A}\cdot\textbf{B}& =(\boldsymbol{e}_{x}A_{x}+\boldsymbol{e}_{y}A_{y}+\boldsymbol{e}_{z}A_{z})\cdot(\boldsymbol{e}_{x}B_{x}+\boldsymbol{e}_{y}B_{y}+\boldsymbol{e}_{z}B_{z}) \\ &=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z} \end{aligned}$

两矢量叉积：

$\begin{aligned} A\times B& =(\boldsymbol{e}_{x}A_{x}+\boldsymbol{e}_{y}A_{y}+\boldsymbol{e}_{z}A_{z})\times(\boldsymbol{e}_{x}B_{x}+\boldsymbol{e}_{y}B_{y}+\boldsymbol{e}_{z}B_{z}) \\ &=e_x(A_yB_z-A_zB_y)+e_y(A_zB_z-A_zB_z)+e_z(A_xB_y-A_yB_z) \\ &=\left|\begin{array}{cccc}\boldsymbol{e}_x&\boldsymbol{e}_y&\boldsymbol{e}_z\\\\A_x&A_y&A_z\\\\B_x&B_y&B_z\end{array}\right| \end{aligned}$

位置矢量： $\vec{r}=\vec{e}_xx+\vec{e}_yy+\vec{e}_zz$

微分元矢量（线元矢量）： $\mathrm{d}\vec{l}=\vec{e}_x\mathrm{d}x+\vec{e}_y\mathrm{d}y+\vec{e}_z\mathrm{d}z$

面元矢量：

$\begin{gathered} \mathrm{d}\vec{S}_x=\vec{e}_x\mathrm{d}l_y\mathrm{d}l_z=\vec{e}_x\mathrm{d}y\mathrm{d}z \\ \mathrm{d}\vec{S}_y=\vec{e}_y\mathrm{d}l_x\mathrm{d}l_z=\vec{e}_y\mathrm{d}x\mathrm{d}z \\ \begin{aligned}\mathrm{d}\vec{S}_z=\vec{e}_z\mathrm{d}l_x\mathrm{d}l_y=\vec{e}_z\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{aligned} \end{gathered}$

体积元： $\mathrm{d}V=\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$

1.2.2 圆柱坐标系

三个坐标量的变化范围：

与直角坐标系的变换关系： $\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\phi=\arctan\left(y/x\right),z=z$ 或 $x=\rho\mathrm{cos}\phi,y=\rho\mathrm{sin}\phi,z=z$

右手螺旋法则：$\boldsymbol{e}\rho\times\boldsymbol{e}\phi=\boldsymbol{e}z,\boldsymbol{e}\phi\times\boldsymbol{e}z=\boldsymbol{e}\rho,\boldsymbol{e}z\times\boldsymbol{e}\rho=\boldsymbol{e}_\phi $

变换关系：$\boldsymbol{e}{\rho}=\boldsymbol{e}{x}\cos\phi+\boldsymbol{e}{y}\sin\phi,\boldsymbol{e}{\phi}=-\boldsymbol{e}{x}\sin\phi+\boldsymbol{e}{y}\cos\phi $

$\boldsymbol{e}{x}=\boldsymbol{e}{\rho}\cos\phi-\boldsymbol{e}{\phi}\sin\phi,\boldsymbol{e}{y}=\boldsymbol{e}{\rho}\sin\phi+\boldsymbol{e}{\phi}\cos\phi $

矩阵形式：

$\begin{aligned}&\begin{bmatrix}e_{\rho}\\e_{\phi}\\e_{z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\phi&\sin\phi&0\\-\sin\phi&\cos\phi&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e_{*}\\e_{*}\\e_{*}\end{bmatrix}\\\\&\begin{bmatrix}e_{s}\\e_{s}\\e_{s}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\phi&-\sin\phi&0\\\sin\phi&\cos\phi&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e_{\rho}\\e_{\phi}\\e_{s}\end{bmatrix}\end{aligned}$

必须知道**：圆柱坐标系中的单位矢量 $e_\rho$ 和 $e_\phi$ 都不是常矢量**。是随 $\phi$ 变化的：

$\begin{cases}\dfrac{\partial\boldsymbol{e}_\rho}{\partial\boldsymbol{\phi}}=-\boldsymbol{e}_x\sin\phi+\boldsymbol{e}_\gamma\cos\phi=\boldsymbol{e}_\phi\\\\\dfrac{\partial\boldsymbol{e}_\phi}{\partial\boldsymbol{\phi}}=-\boldsymbol{e}_z\cos\phi-\boldsymbol{e}_\gamma\sin\phi=-\boldsymbol{e}_\rho\end{cases}$

矢量 $\vec{A}$ 在直角坐标系和圆柱坐标系中的变换关系类似上述变换，这里不再赘述。

在圆柱坐标系中,由于 $e_\rho$ 和 $e_\phi$ 都是随 $\vec{\phi}$ 变化的,不同点的 $e_\rho$ 和 $e_\phi$ 一般是不同的。因此，位于不同点的两个矢量一般不能像直角坐标系那样直接用对应分量进行加法和乘法运算，但对位于同一个点的两个矢量可以用对应分量进行加法和乘法运算。

对位于同一点 $P\left(\rho,\phi,z\right)$ 或在同一个 $\phi=$ 常数的平面上的矢量 $A$ 与 $\vec{B}$ ：

$\begin{aligned} &A+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{e}_{\rho}(\begin{array}{c}A_{\rho}+B_{\rho}\\\end{array})+\boldsymbol{e}_{\phi}(\begin{array}{c}A_{\phi}+B_{\phi}\\\end{array})+\boldsymbol{e}_{z}(\begin{array}{c}A_{z}+B_{z}\\\end{array})& \text{(1)} \\ &A·B=(\boldsymbol{e}_{\rho}A_{\rho}+\boldsymbol{e}_{\phi}A_{\phi}+\boldsymbol{e}_{z}A_{z})\boldsymbol{\cdot}(\boldsymbol{e}_{\rho}B_{\rho}+\boldsymbol{e}_{\phi}B_{\phi}+\boldsymbol{e}_{z}B_{z}) \\ &=A_{\rho}B_{\rho}+A_{\phi}B_{\phi}+A_{z}B_{z}& \text{(2)} \\ &A\times B=(\begin{array}{c}\boldsymbol{e}_{\rho}A_{\rho}+\boldsymbol{e}_{\phi}A_{\phi}+\boldsymbol{e}_{z}A_{z}\\\end{array})\times(\begin{array}{c}\boldsymbol{e}_{\rho}B_{\rho}+\boldsymbol{e}_{\phi}B_{\phi}+\boldsymbol{e}_{z}B_{z}\\\end{array}) \\ &=\boldsymbol{e}_{\rho}(\begin{array}{c}A_{\phi}B_{z}-A_{z}B_{\phi}\end{array})+\boldsymbol{e}_{\phi}(\begin{array}{c}A_{z}B_{\rho}-A_{\rho}B_{z}\end{array})+\boldsymbol{e}_{z}(\begin{array}{c}A_{\rho}B_{\phi}-A_{\phi}B_{\rho}\end{array}) \\ &=\left|\begin{array}{lll}\boldsymbol{e}_\rho&\boldsymbol{e}_\phi&\boldsymbol{e}_z\\A_\rho&A_\phi&A_z\\B_\rho&B_\phi&B_z\end{array}\right|& \text{(3)} \end{aligned}$

位置矢量： $r=e_\rho\rho+\boldsymbol{e}_zz$

线元（微分元）矢量： $\begin{aligned}\mathrm{d}\boldsymbol{r}&=\mathrm{d}\left(\boldsymbol{e}_{\rho}\rho\right)+\mathrm{d}\left(\boldsymbol{e}_{z}z\right)=\boldsymbol{e}_{\rho}\mathrm{d}\rho+\rho\mathrm{d}\boldsymbol{e}_{\rho}+\boldsymbol{e}_{z}\mathrm{d}z\\&=\boldsymbol{e}_{\rho}\mathrm{d}\rho+\boldsymbol{e}_{\phi}\rho\mathrm{d}\phi+\boldsymbol{e}_{z}\mathrm{d}z\end{aligned}$

面元矢量：

体积元： $\operatorname{d}V=\rho\operatorname{d}\rho\operatorname{d}\phi\operatorname{d}z$

度量系数（拉梅系数）： $h_{\rho}=\frac{\mathrm{d}l_{\rho}}{\mathrm{d}\rho}=1,h_{\phi}=\frac{\mathrm{d}l_{\phi}}{\mathrm{d}\phi}=\rho,h_{z}=\frac{\mathrm{d}l_{z}}{\mathrm{d}z}=1$

1.2.3 球坐标系

三个坐标量变化范围：

球坐标系与直角坐标系之间的变换关系： $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},\theta=\arccos\left(z/\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right),\phi=\arctan\left(y/x\right)$ 或

右手螺旋定则： $\boldsymbol{e}_{r}\times\boldsymbol{e}_{\theta}=\boldsymbol{e}_{\phi},\boldsymbol{e}_{\theta}\times\boldsymbol{e}_{\phi}=\boldsymbol{e}_{r},\boldsymbol{e}_{\phi}\times\boldsymbol{e}_{r}=\boldsymbol{e}_{\theta}$

与直角坐标系变换关系：

$\begin{aligned} &\left[\begin{array}{c} e_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_\phi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\ \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & -\sin \theta \\ -\sin \phi & \cos \phi & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{e}_x \\ \boldsymbol{e}_y \\ \boldsymbol{e}_x \end{array}\right]\\\\ &\left[\begin{array}{l} e_x \\ e_y \\ e_z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & \cos \theta \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \sin \phi & \cos \phi \\ \cos \theta & -\sin \theta & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} e_r \\ e_\theta \\ e_\phi \end{array}\right] \end{aligned}$

证明使用各个方向投影叠加得到。

其中，单位矢量 $e_r,e_{_\theta}\text{ 和 }e_{_\phi}$ 都不是常矢量，

$\begin{cases}\frac{\partial\boldsymbol{e}_r}{\partial\theta}=\boldsymbol{e}_\theta,\quad\frac{\partial\boldsymbol{e}_r}{\partial\boldsymbol{\phi}}=\boldsymbol{e}_\phi\sin\theta\\\\\frac{\partial\boldsymbol{e}_\theta}{\partial\theta}=-\boldsymbol{e}_r,\quad\frac{\partial\boldsymbol{e}_\theta}{\partial\boldsymbol{\phi}}=\boldsymbol{e}_\phi\cos\theta\\\\\frac{\partial\boldsymbol{e}_\phi}{\partial\theta}=0,\quad\frac{\partial\boldsymbol{e}_\phi}{\partial\phi}=-\boldsymbol{e}_,\sin\theta-\boldsymbol{e}_\phi\cos\theta\end{cases}$

矢量在球坐标系和直角坐标系中的表达式之间的变换关系与上述单位向量之间的关系相同。

对位于同一点 $P(r,\theta,\phi)$ 或在沿同一条半径线上的两个矢量 $A和B$ ：

$\begin{aligned} &A+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{e}_{r}(\begin{array}{c}A_{r}+B_{r}\end{array})+\boldsymbol{e}_{\theta}(\begin{array}{c}A_{\theta}+B_{\theta}\end{array})+\boldsymbol{e}_{\phi}(\begin{array}{c}A_{\phi}+B_{\phi}\end{array})&& \text{(1)} \\ &A\cdot\boldsymbol{B}=A_rB_r,+A_{\theta}B_{\theta}+A_{\phi}B_{\phi}&& (2) \\ A\times B& =\boldsymbol{e}_{r}(\begin{array}{c}A_{\theta}B_{\phi}-A_{\phi}B_{\theta}\end{array})+\boldsymbol{e}_{\theta}(\begin{array}{c}A_{\phi}B_{r}-A_{r}B_{\phi}\end{array})+\boldsymbol{e}_{\phi}(\begin{array}{c}A_{r}B_{\theta}-A_{\theta}B_{r}\end{array}) \\ &=\left|\begin{array}{llll}\boldsymbol{e},&\boldsymbol{e}_\mathrm{\theta}&\boldsymbol{e}_\mathrm{\phi}\\A_r&A_\mathrm{\theta}&A_\mathrm{\phi}\\B_\mathrm{r}&B_\mathrm{\theta}&B_\mathrm{\phi}\end{array}\right|&& \text{(3)} \end{aligned}$

位置矢量： $r=e_r$

微分元（线元）矢量：$\mathrm{d}\boldsymbol{r}=\mathrm{d}\left(\boldsymbol{e}_rr\right)=\boldsymbol{e}_r\mathrm{d}r+r\mathrm{d}\boldsymbol{e}r=\boldsymbol{e}r\mathrm{d}r+\boldsymbol{e}\theta r\mathrm{d}\theta+\boldsymbol{e}\phi r\mathrm{sin}\theta\mathrm{d}\phi $

面元矢量（面积元）：

体积元：

度量（拉梅）系数： $\begin{aligned}h_{_r}&=1,h_{_\theta}=r,h_{_\phi}=r\sin\theta\end{aligned}$

1.2.4 补充知识

1. 坐标单位矢量之间的变换关系

直角坐标系与圆柱坐标系：

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline&\vec{e}_\mathrm{x}&\vec{e}_\mathrm{y}&\vec{e}_z\\\hline\vec{e}_\mathrm{\rho}&\cos\phi&\sin\phi&0\\\hline\vec{e}_\mathrm{\phi}&-\sin\phi&\cos\phi&0\\\hline\vec{e}_z&0&0&1\\\hline\end{array}$

圆柱坐标系与球坐标系：

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline&\vec{e}_\rho&\vec{e}_\phi&\vec{e}_z\\\hline\vec{e}_r&\sin\theta&0&\cos\theta\\\hline\vec{e}_\theta&\cos\theta&0&-\sin\theta\\\hline\vec{e}_\phi&0&1&0\\\hline\end{array}$

直角坐标系与球坐标系：

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline&\vec{e}_x&\vec{e}_y&\vec{e}_z\\\hline\vec{e}_r&\sin\theta\cos\phi&\sin\theta\sin\phi&\cos\theta\\\hline\vec{e}_\theta&\cos\theta\cos\varphi&\cos\theta\sin\phi&-\sin\theta\\\hline\vec{e}_\phi&-\sin\phi&\cos\phi&0\\\hline\end{array}$

2. 单位矢量的空间倒数

极坐标系：

根据偏导数定义：

$\begin{gathered} \frac{\partial\boldsymbol{e}_r}{\partial r} =\lim_{\Delta r\to0}\frac{e_r(~r+\Delta r,\theta)~-e_r(~r,\theta)}{\Delta r} \text{(a)} \\ \frac{\partial\boldsymbol{e}_r}{\partial\theta} =\lim_{\Delta r\to0}\frac{\boldsymbol{e}_r(2r,\theta+\Delta\theta)-\boldsymbol{e}_r(2r,\theta)}{\Delta\theta} \text{(b)} \\ \frac{\partial\boldsymbol{e}_\theta}{\partial r} =\lim_{\Delta r\to0}\frac{e_\theta(-r+\Delta r,\theta)-e_\theta(-r,\theta)}{\Delta r} \text{(c)} \\ \frac{\partial\boldsymbol{e}_\theta}{\partial\theta} =\lim_{\Delta r\to0}\frac{e_\theta(1r,\theta+\Delta\theta)-e_\theta(1r,\theta)}{\Delta\theta} \text{(d)} \end{gathered}$

对于(b)(d)式：

$\begin{aligned} & \left|\Delta \boldsymbol{e}_r\right| \approx\left|\boldsymbol{e}_r\right| \Delta \theta=\Delta \theta \\ & \left|\Delta \boldsymbol{e}_\theta\right| \approx\left|\boldsymbol{e}_\theta\right| \Delta \theta=\Delta \theta \end{aligned}$

可以得到：

$\begin{aligned}\frac{\partial\boldsymbol{e}_r}{\partial r}&=0,\quad\frac{\partial\boldsymbol{e}_r}{\partial\theta}=\boldsymbol{e}_\theta\\\frac{\partial\boldsymbol{e}_\theta}{\partial r}&=0\boldsymbol{,}\quad\frac{\partial\boldsymbol{e}_\theta}{\partial\theta}=-\boldsymbol{e}_r\end{aligned}$

柱坐标系：

由于单位矢量 $e_z$ 为常矢量，其坐标偏导数均为零，又 $z$ 变化时只是平移了矢量，故对 $z$ 的偏导数仍为零：

$\begin{aligned}\frac{\partial e_\rho}{\partial\rho}&=0,\quad\frac{\partial e_\rho}{\partial\varphi}=e_\varphi,\quad\frac{\partial e_\rho}{\partial z}=0\\\frac{\partial e_\varphi}{\partial\rho}&=0,\quad\frac{\partial e_\varphi}{\partial\varphi}=-e_\rho,\quad\frac{\partial e_\varphi}{\partial z}=0\\\frac{\partial e_z}{\partial\rho}&=0,\quad\frac{\partial e_z}{\partial\varphi}=0,\quad\frac{\partial e_z}{\partial z}=0\end{aligned}$

球坐标系：

$r,\theta$ 平面构成平面极坐标系，又 $e_{\phi}$ 大小和方向不随 $r$ 和 $\theta$ 变化，可以得出：

$\frac{\partial\boldsymbol{e}_r}{\partial r}=0,\quad\frac{\partial\boldsymbol{e}_r}{\partial\theta}=e_\theta,\quad\frac{\partial\boldsymbol{e}_\theta}{\partial r}=0,\quad\frac{\partial\boldsymbol{e}_\theta}{\partial\theta}=-\boldsymbol{e}_r$