813电磁场与波
第1章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
数学上,任一代数量
予“物理单位”,则称为一个具有物理意义的标量,即所谓的物理量,如电压
荷量
一般的三维空间内某一点
矢量。
单位矢量:模为1的矢量称为单位矢量。
1.1.2 矢量的加法和减法
平行四边形法则:
运算法则:
交换律:
结合律:
1.1.3 矢量的乘法
标量和矢量:
矢量和矢量:
(1)点积(标积):
交换律:
分配律:
(2)叉积(矢积):
显然有:
不满足交换律。
分配律:
标量三重积:
矢量三重积:
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
电磁理论中,常用直角坐标系,圆柱坐标系和球坐标系。
1.2.1 直角坐标系
右手螺旋定则:
任意矢量
两矢量和:
两矢量点积:
微分元矢量(线元矢量):
面元矢量:
1.2.2 圆柱坐标系
三个坐标量的变化范围:
与直角坐标系的变换关系:
右手螺旋法则:$=z,z=,z=_$
变换关系:${}={x}+{y},{}=-{x}+{y}$
${x}={}-{},{y}={}+{}$
矩阵形式:
在圆柱坐标系中,由于
对位于同一点
线元(微分元)矢量:
面元矢量:
体积元:
度量系数(拉梅系数):
1.2.3 球坐标系
三个坐标量变化范围:
球坐标系与直角坐标系之间的变换关系:
右手螺旋定则:
与直角坐标系变换关系:
其中,单位矢量
对位于同一点
微分元(线元)矢量:$=(_rr)=_rr+rr=rr+r+r$
面元矢量(面积元):
体积元:
度量(拉梅)系数:
1.2.4 补充知识
1. 坐标单位矢量之间的变换关系
直角坐标系与圆柱坐标系:
2. 单位矢量的空间倒数
极坐标系:
根据偏导数定义:
对于(b)(d)式: