FDTD

FDTD简介

时域有限差分方法基本方程

麦克斯韦方程组

本构关系

把电流密度写成导体电流密度和施加电流密度之和，同样对磁流密度也就行分解，重写麦克斯韦方程：

上面的方程仅设计电磁场和，而为涉及通量密度矢量和。公式中出现了四个本构关系参量，所以只能描述任意线性、各向同性的媒质。虽然FDTD公式中未出现散度方程，但是可以用来检测仿真结果。

在三维空间中把方程分解为3个标量方程。得到：

导数的近似差分

前向差分公式

后向差分公式

中心差分公式

其中前向差分和后向差分公式具有一阶精度，但是中心差分公式具有二阶精度。

二阶导数的近似差分

中心差分公式

三维问题的FDTD更新方程

FDTD 技术将三维问题的几何结构分解为单元,以构成相应的网格。下图示出由（）个Yee 单元构成的网格。使用矩形 Yee 单元，以单元的大小作为分辨率,用阶跃或阶梯形式来近似表面和内部几何结构。

下图示出了标志为的 Yee 单元方式中离散空间各场分量位置。电场分量放置在 Yee 单元各棱的中间,平行于各;磁场分量放置在 Yee 单元各面的中心,平行于各面的法线。

令Yee单元的尺寸分别为 $，，$ ，可以得到坐标： $。$ FDTD算法在离散时间瞬间取样和计算场值，但是电场取样时刻为整数步长时刻，磁场取样为半整数时间步时刻。由于场分量和时间和空间都有关，故用上标表示时间标志。例如： $）$ 记为。其他以此类推。

物质参量(介电常数、磁导率、电导率和导磁性)分布在整个 FDTD 网格上，并且与场量相关,因此它们的标记与专场量相同。下图给出了介电常数和磁导率的标记。电导率分布在整个网格，其标记同介电常数。同样,导磁性的标记也与磁导率相同。对离散取样的场分量，在空间和时间上都具备适当的标记方式，这样麦克斯韦方程的旋度方程就可以标量方程的差分形式给出。

考虑方程：

可以写出差分形式

上式右边包含的电场是半整数时刻的，，这些电场可写为两个整数时刻的平均。

由上面两式可以推出FDTD更新方程：

上式表明了如何用用过去时刻的电场/磁场分量和激励分量来计算下一时间步的电场分量。同样可以推出其他分量的更新方程。

对于磁场考虑方程

写出差分形式：

整理之后同样可以得到磁场的更新公式

同样可以推出其他分量的更新方程。

最后，引入系数项，可以得到

式中