FDTD笔记
FDTD
FDTD简介
时域有限差分方法基本方程
麦克斯韦方程组
本构关系
把电流密度
上面的方程仅设计电磁场
在三维空间中把方程分解为3个标量方程。得到:
导数的近似差分
前向差分公式
后向差分公式
中心差分公式
其中前向差分和后向差分公式具有一阶精度,但是中心差分公式具有二阶精度。
二阶导数的近似差分
中心差分公式
三维问题的FDTD更新方程
FDTD 技术将三维问题的几何结构分解为单元,以构成相应的网格。下图示出由(
下图示出了标志为
令Yee单元的尺寸分别为
物质参量(介电常数、磁导率、电导率和导磁性)分布在整个 FDTD 网格上,并且与场量相关,因此它们的标记与专场量相同。下图给出了介电常数和磁导率的标记。电导率分布在整个网格,其标记同介电常数。同样,导磁性的标记也与磁导率相同。对离散取样的场分量,在空间和时间上都具备适当的标记方式,这样麦克斯韦方程的旋度方程就可以标量方程的差分形式给出。
考虑方程:
可以写出差分形式
上式右边包含的电场是半整数时刻的,,这些电场可写为两个整数时刻的平均。
由上面两式可以推出FDTD更新方程:
上式表明了如何用用过去时刻的电场/磁场分量和激励分量来计算下一时间步的电场分量。同样可以推出其他分量的更新方程。
对于磁场考虑方程
写出差分形式:
整理之后同样可以得到磁场的更新公式
同样可以推出其他分量的更新方程。
最后,引入系数项,可以得到
式中